平行线等分线段定理 _生活经验

平行线等分线段定理平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。

平行线等分线段定理理解原定理是过三角形一边中点并且平行於另一边的直线平分第三边.
已知:△ABC中,D是AB中点,DE∥BC交AC於E.求证:E是AC中点.

证明:过A作BC的平行线l,则有l∥DE∥BC
∵AD=DB,∴由平行线等分线段定理得AE=EC,即E是AC中点.

平行线等分线的定理定理内容如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。也称“一二三定理” 。第二第三条即常说的“中位线定理” 。
平行线等分线段定理的证明第一题辅助线比较麻烦，希望楼主能拿出笔和纸，我给出辅助线和过程

在AC上取AF＝AB，连接EF，作DG//EF交AC于G，交BC于H

可以证明ABE与AFE全等，则有角AEF＝角ADG＝角ABE＝角DEH
三角形EDH为等腰三角形，EH＝DH，
又EDC为直角，可以得出三角形DHC为等腰三角形
得出EH＝HC，加上EF//DG得出FG＝GC
又AC＝3AB，得出AF＝FG＝GC，加上EF//DG，得出结论AE＝ED
本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

教法建议

平行线等分线段定理的引入

生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：

①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；

②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.

教学设计示例

一、教学目标

1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

二、教法设计

学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

三、重点、难点

1．教学重点：平行线等分线段定理

2．教学难点：平行线等分线段定理

四、课时安排

l课时

五、教具学具

计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

六、师生互动活动设计

教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

七、教学步骤

【复习提问】

1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

【引入新课】

由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

　?。ㄒ佳炎鍪笛榈奶跫偷玫降慕崧坌闯梢桓雒?nbsp;，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．

下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．

已知：如图，直线，．

求证：．

分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．

　?。ㄒ佳页隽硪恢种しǎ?br>
分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．

证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．

∴

∵ ，

∴

又∵ ，，

∴

∴

为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1．

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．

例已知：如图，线段．

求作：线段的五等分点．

作法：①作射线．

②在射线上以任意长顺次截取．

③连结．

④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．

、、、就是所求的五等分点．

　?。ㄋ得髀?，由学生口述即可）

【总结、扩展】

小结：

　?。╨）平行线等分线段定理及推论．

　?。?）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

　?。?）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

　?。?）应用定理任意等分一条线段．

八、布置作业

教材P188中A组2、9

九、板书设计

十、随堂练习

教材P182中1、2

平行线等分线段定理的定理内容如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等可以知道这组平行线每相邻两条之间的距离是相等的那么他们在其他直线上截得的线段也相等
你画3条距离相等的平行线再画2条与他们相交的直线就清楚了

平行线分线段成比例定理对应线段怎么理解

文章插图

设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF 。由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF 。扩展资料两直线a、b被三条平行线所截如图所示，如果相邻平行线的距离不相等，则AB≠BC，不妨设AB:BC=m:n，将AB进行m等分，将线段BC进行n等分如图P1,P2,……Pm-1是AB的m等分点，Q1，Q2，……Qn-1是BC的n等分点，由于AB:BC=m:n,则AP1=P1P2=……Pm-1B=BQ1=Q1Q2=……Qn-1C,过P1,P2,……Pm-1，Q1 ， Q2，……Qn-1分别作这组平行线的平行线，交b于P’1,P’2,……P’m-1，Q’1 ， Q’2，……Q’n-1,根据平行线等分线段定理，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。则DP’1=P’1P’2=……P’m-1E=E’Q1=Q’1Q’2=……Q’n-1F,则DE=m DP’1,EF=n E’Q1,则DE：EF= m:n.所以AB:BC=DE：EF于是结论得证。参考资料来源：百度百科-平行线分线段成比例定理
平行线等分线段定理初二有学过吗在九年级涉及到,但现在人教版的课本上没有,得自己补充!
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。这一定理被称为“平行线分线段成比例定理” 。
如图，因为AD∥BE∥CF，
所以
AB：BC=DE：EF；
AB：AC=DE：DF；
BC：AC=EF：DF 。
也可以说AB：DE=BC：EF；
AB：DE=AC：DF；
BC：EF=AC：DF 。
上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。事实上，直线AC和直线DF可以在平行线之间相交，同样有定理成立。

平行线分线段成比例定理和等分线段定理可以逆用吗？如下图三角形的中位线定理可以逆用。但平行线分线段成比例定理不可以逆用，比如四边形的不相等的对边的中点连线就不平行于四边形的其他两个边

什么是平行线等分线段定理？平行线等分线段定理是平面几何中的一个重要知识点，是全等三角形、平行四边形、梯形等知识点的延伸，同时又是学习平行线截线段成比例的基础。证明如下：已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如图)求证：GH:HI=JK:KL证明：过点K作G'I'∥GI交AB ,CD ,EF于点G',H' I'.∵ AB∥CD∥EF,G'I'∥GI∴ 四边形GHKG',HII'H‘,GII'G是平行四边形（平行四边形判定定理），∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F（内错角相等）∴△JG'K∽△I'LK,（相似三角形判定），GH=G'H',HI=H'I'（平行四边形对边相等）∵G'H':H'I'=JK:KL(相似三角形性质）∴GH:HI=JK:KL（等量代换）推论1：过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边；推论2：过梯形一腰中点且平行于底边的直线必过另一腰中点。
平行线分线段成比例定理的推论是什么啊求解释
平行线分线段成比例定理中的“对应线段”怎么理解，为什么就对应了？设三条平行线与直线 m 交于 A、B、C 三点，与直线 n 交于 D、E、F 三点。连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得 S△ABE=S△DBE， S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF 。由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF 。扩展资料两直线a、b被三条平行线所截如图所示，如果相邻平行线的距离不相等，则AB≠BC，不妨设AB:BC=m:n ，将AB进行m等分，将线段BC进行n等分如图P1,P2,……Pm-1是AB的m等分点，Q1，Q2，……Qn-1是BC的n等分点，由于AB:BC=m:n,则AP1=P1P2=……Pm-1B=BQ1=Q1Q2=……Qn-1C,过P1,P2,……Pm-1，Q1，Q2 ， ……Qn-1分别作这组平行线的平行线，交b于P’1,P’2,……P’m-1，Q’1，Q’2，……Q’n-1,根据平行线等分线段定理，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。则DP’1=P’1P’2=……P’m-1E=E’Q1=Q’1Q’2=……Q’n-1F,则DE=m DP’1,EF=n E’Q1,则DE：EF= m:n.所以AB:BC=DE：EF于是结论得证。参考资料来源：百度百科-平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理，这个定理说的对应线段如何确定？？平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为ad∥be∥cf，
所以ab：bc=de：ef；
ab：ac=de：df；
bc：ac=ef：df 。
也可以说ab：de=bc：ef；
ab：de=ac：df；
bc：ef=ac：df 。
望采纳。

平行线分线段成比例定理,怎么理解,说得简单点就是说把一个角分成二分之一,或按比例分

平行线分线段成比例定理是什么其实和教育是否落后无关,
而是写教材的人也很无奈:
不可能给初中生讲极限吧.
证明大意是这样的(字母按原图):
首先证明平行线分线段比例的"单调性".
设直线B'E'
//
BE,
分别交AC,
DF于B'
,
E'.
当AB'
>
AB时,
B'在A关于直线BE的异侧.
由AD
//
BE
//
B'E',
可知E'在D关于直线BE的异侧,
故DE'
>
DE.
这一结论可等价的写为:
若AB'/AC
>
AB/AC,
则DE'/DF
>
DE/DF.
由分比定理,
可改写为:
若AB'/B'C
>
AB/BC,
则DE'/E'F
>
DE/EF.
设AB/BC
=
t,
对任意有理数s满足s
>
t.
可在AC上取B',
使AB'/B'C
=
s.
作B'E'
//
BE,
交DF于E'.
由有理数情形,
有DE'/E'F
=
AB'/B'C
=
s.
而由"单调性",
DE/EF
<
DE'/E'F
=
s.
由s的任意性,
可知DE/EF小于任意一个大于t的有理数.
同理可证,
DE/EF大于任意一个小于t的有理数.
于是只有DE/EF
=
t
=
AB/BC
(*),
证毕.
要严格的解释(*)处的理由比较困难,
必须用到实数的完备性.
因为要说明:
对任意实数a
>
0,
都存在有理数b使0
<
b
<
a.
在难以严格解释的同时又是直观上非常容易接受的,
所以我就不展开说了.
另外,
平行线分线段成比例定理有一种面积证法,
只用到三角形面积公式.
大意是AB/BC
=
S△EAB/S△EBC
=
S△BDE/S△BEF
=
DE/EF.
不过深究起来,
三角形面积公式的严格证明还是要用极限.

初一到初二学过的几何公理，定理【平行线等分线段定理】1过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9 同位角相等，两直线平行

10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13 两直线平行，内错角相等

14 两直线平行，同旁内角互补

15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形

48定理四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80 推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

L=（a+b）÷2S=L×h

83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 。如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d

85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b

86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

94 判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97 性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

初中的"平行线等分线段定理"是什么?定理内容
如果一组平行线在一条直线上截得的线段比例相等，那么在其他直线上截得的线段比例也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理” 。
编辑本段
定理证明过程
证明如下：
已知：AB‖CD‖EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图)
求证：GH:HI=JK:KL
证明：
过点K作G'I'‖GI交AB
,CD
,EF于点G',H'
I'.
∵
AB‖CD‖EF,G'I'‖GI
∴
四边形GHKG',HII'B,GII'G是平行四边形（平行四边形判定定理），∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F（内错角相等）
∴△JG'K∽△I'LK,（相似三角形判定）， GH=G'H',HI=H'I'（平行四边形对边相等）
∵G'H':H'I'=JK:KL(相似三角形性质）
∴GH:HI=JK:KL（等量代换）

平行线等分线段定理是几年级学的？九年级下册相似

现行人教版初中数学中有平行线等分线段定理吗？在哪一章新人教版第27章〈相似〉

初二数学所有定理，公理十字交叉双乘法没有公式，一定要说的话
那就是利用x^2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)其中PQ为常数。x^2是X的平方
1.因式分解

即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。证明：可参见《高代》P52-53

初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等

要求为：要分到不能再分为止。

2.方法介绍

2.1提公因式法：

如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。

解：原式=5x(x2+2x+1)

=5x(x+1)2

2.2公式法

即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)

说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0 ，则一定含有一次因式x-b 。可判断当n为偶数时，当a=b,a=-b时，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小题均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)

②1+x+x2+…+x15=

=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)

注多项式分解时，先构造公式再分解。

2.3分组分解法

当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，达到顺利分解的目的。当然可能要综合其他分法，且分组方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根据系数特征进行分组

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

2.4十字相乘法

对于形如ax2+bx+c结构特征的二次三项式可以考虑用十字相乘法,

即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)当x2项系数不为1时，同样也可用十字相乘进行操作。

例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）(x-3)

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）(3x+4)

注：“ax4+bx2+c”型也可考虑此种方法。

2.5双十字相乘法

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的基本方法，对于比较复杂的多项式，尤其是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：

（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图

（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2)

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)

2x-3yz

3x-y-2z

说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，当然此题也可用分组分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)

④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：

2.6拆法、添项法

对于一些多项式，如果不能直接因式分解时，可以将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯一，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4

解析法一：可将-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)

法二：添x4,再减x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)

法三：添4x,再减4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)

法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)

法五：把x3拆为， 4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等

解（选择法四）原式=x3-x2+4x2-4

=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x-1)(x+2)2

2．7换元法

换元法就是引入新的字母变量，将原式中的字母变量换掉化简式子。运用此

种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果。

例7分解因式：

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

解析若将此展开，将十分繁琐，但我们注意到

(x+1)(x+4)=x2+5x+4

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

故可用换元法分解此题

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

令y=x2+5x+5则原式=(y-1)(y+1)-120

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6)

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y请认真比较体会哪种换法更简单？

2．8待定系数法

待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数。待定系数法应用广泛,在此只研究它的因式分解中的一些应用。

例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法

先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)

解设可设原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)

=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

比较两个多项式（即原式与*式）的系数

m+2n=14(1)m=4

3m-3n=-3(2)=>

mn=20(3)n=5

∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)

注对于（*）式因为对a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n

令a=1,b=0,m+2n=14m=4

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5

2.9因式定理、综合除法分解因式

对于整系数一元多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

由因式定理可先判断它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互质）， p为首项系数an的约数，q为末项系数a0的约数

若f（）=0,则一定会有（x-）再用综合除法，将多项式分解

例8分解因式x3-4x2+6x-4

解这是一个整系数一元多项式，因为4的正约数为1、2、4

∴可能出现的因式为x±1,x±2,x±4,

∵f(1)≠0,f(1)≠0

但f(2)=0,故(x-2)是这个多项式的因式，再用综合除法

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=(x-2)(x2-2x+2)

当然此题也可拆项分解，如x3-4x2+4x+2x-4

=x(x-2)2+(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)

分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!
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不知道你是什么教材的
初中的都给你好了
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1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

急?。。∑叫邢叩确窒叨味ɡ淼闹っ?/h3>过A点，做DF的平行线。
剩下自己想

平行线等分线段定理的证明题。快点。急急急！大家帮忙?。≡谙叩龋∠晗腹贪。?/h3>额，很简单啊，做FH⊥AB，平行线等分线段定理可得
GH=BH，高=中线，所以GBF是等腰三角形，所以GF=BF

平行线等分线段定理首先，作3条平行线为例来证明平行线等分线段定理．如图2，直线L1‖L2‖L3，AB＝BC．求证： A1B1＝B1C1．证明：过B1作EF‖AC，分别交l1、l3于点E、F．得到ABB1E和BCFB1．∴ AB=EB1，BC＝B1F．∵ AB＝BC，∴ EB1＝B1F．又 ∵∠1=∠2，∠3＝∠4，∴ △A1B1E≌△C1B1F．∴ A1B1＝B1C1．命题得证
请用平行线等分线段定理证明
平行线等分线段定理的逆定理证明1．平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

2．平行线等分线段定理的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．
见http://www.pep.com.cn/200406/ca473315.htm希望能解决您的问题。

平行线分线段成比例逆定理是什么东西?。磕懿荒芟晗傅乃狄幌拢啃恍唬?/h3>平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上所截得的线段相等，那么这组平行线在另一条直线上所截得的线段也相等。逆命题：一组直线如果同时在两条直线上截得相等线段，那么这组直线互相平行。不一定成立这个不是定理呃⊙﹏⊙b汗

十个具有相当难度的八年级奥数题【关于平行线等分线段定理，其实也就是中位线】楼上匿名的兄弟说得很有道理，不过作为一个奥数的老兵，偶还是忍不住手痒做了一下，嘿嘿。楼主小兄弟要好好加油?。≈皇窍氩坏较衷诎率鼓敲慈劝　韵轮饕玫狡叫兴谋咝蔚幕拘灾屎徒瞧椒窒叨ɡ恚ㄈ鬉D平分角BAC，交BC于D，则AB/AC=BD/BC 。证明也是用中位线的。）

I 过D作AC的平行线，过C作AD的平行线，二者相交于G，延长EF交DG于H 。则ACGD是平行四边形，从而对角线AG与CD互相平分，于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样，EF平行于BG，角DMH=角DBG，角DHM=角DGB 。但是DG=AC=BD，所以三角形DBG是等腰三角形，于是角DBG=角DGB ，得到角DMH=角DHM 。又因为DG平行于AC，角DHM=角ONM ，而角DMH与角OMN是对顶角，从而角ONM=角OMN，得到OM=ON 。

II 由中位线性质可知， EPFQ是平行四边形，从而EF平分PQ 。设EF交PQ于O，则ON是三角形QPC的中位线，于是ON平行于CP且ON=1/2（CP）。另外， FM是三角形BPC的中位线，于是FM平行于CP且FM=1/2（CP）。这样，FMON是平行四边形，对角线互相平分，于是FO平分MN，也即EF平分MN 。

III 将三角形DEH旋转180度，使得D与A重合。设C、H、F分别变成I，J，K 。则角IKE=角CFE ，从而IK平行于BF 。但是BF=FC=IK，于是BF与IK平行且相等，即：BFKI是平行四边形，于是BI平行于JG 。于是角AIB=角AJG，角ABI=角AGJ 。此时由于AI=CD=AB，角AIB=角ABI，于是角AJG=角AGJ 。但是角AJG=角DHE，于是角DHE=角AGJ，也即角BGF=角CHF 。

IV 由EH=HN知NF=DE=1/2（BC），于是CF=NF-NC=1/2（BC）-（BC-BN）=BN-1/2（BC）=1/2（BM）-1/2（BC）=1/2（BM-BC）=1/2（CM）。从而CF=FM=1/2（CM）。

VI 作B的角平分线，交AC于F 。则AB/BC=AF/FC 。此时角FBC=角C，于是BFC是等腰三角形。由于E是BC中点，FE垂直于BC，从而FE平行于AD 。则AB/BC=AF/FC=DE/EC=DE/（1/2（BC））消去BC，得AB=2DE 。

VI 过A分别作BC与EF的平行线，交CD于G、H 。则由角D与角C互余可知，DAG是直角三角形。此时ABCG与AEFH均为平行四边形，故GC=AB，HF=AE，AH=EF 。则DH=DF-HF=DF-AE=1/2（DC-AB），DG=DC-GC=DC-AB 。于是AH是直角三角形DAG的中线，从而EF=AH=1/2（DG）=1/2（DC-AB）。

VII 利用III的结果，延长NM交CA于F，交BA于G 。则角AFG=角DGM 。但是角DGM=角FGA 。于是角BAC=角FGA+角AFG=2 角AFG 。从而角HAC=角AFN=1/2（角BAC），于是AH平行于FN，即MN平行于AH 。

VIII 本题的叙述有误，应为“AE⊥BM，AF⊥CN” 。延长AE，AF分别交BC于G、H 。则GBA与HCA均为等腰三角形， BE与CF分别为顶角的角平分线，从而也为底边的中线。这时EF为三角形AGH的中位线，从而EF平行于GH，也即BC 。

IX 设BD交CE于O 。显然角OBC=角OCB，于是CO是直角三角形BCM的斜边中线，即BO=OM 。此时由于MF平行于CE，可知OE为三角形BMF的中位线，于是BE=EF 。

X 以数字标记的角的位置？

楼主关于III的解法很漂亮！至于IX，注意到角BCM是直角，于是从“角OBC=角OCB”可以推出角OCM=角OMC，这样OCB和OCM都是等腰三角形，就有BO=OM了。

平行线分线段成比例定理有逆定理么肯定有，我们下午才讲了。先假设有一条线段平行于底端，那么所对应的线段成比例，又因为原有的那条线段，也让对应线段成比例，所以这两条线段重合，所以这条线段平行于底端。
不知道，就不要乱说！

平行线分线段成比例逆定理是什么?有图说明就更好了!平行线分线段成比例定理是没有逆定理的。

平行线分线段成比例定理的推论它的逆定理证明题是能不能直接来用这个逆定理不成立,当然也就不能应用.

平行线分线段成比例逆定理是什么东西?。?能不能详细的说一下？谢谢！语言描叙：三条直线去截两条直线，如果截得的对应线段成比例，则这三条直线平行。
几何语言: 我这电脑上没安装画图工具啊。您可以画一下：
画三条直线a, b ,c d大致水平的。
再画2条直线m,n呈八字型吧。
设a与m交于A,与n交于D ，
b与m交于B,与n交于E，
c与m交于C,与n交于F，
若 AB ：BC = DE ：EF ,则a平行b平行c 。
或若 AB ：AC = DE ：DF ,则a平行b平行c 。
或·············· 。还可写成别的形式。书上有啊。
当然，图形也可以画出各种各样的啊。
若 AB ：BC = DE ：EF ,则a平行b平行c 。
对此，常常记忆为：若左上：左下 = 右上：右下，则三条线平行。
或若 AB ：AC = DE ：DF ,则a平行b平行c 。
对此，常常记忆为：若左上：左全 = 右上：右全，则三条线平行。
还有：若左下：左全 = 右下：右全，则三条线平行。

平行线等分线段定理真叫难！老师让我们上网查它的逆定理怎样去证，请高人指教！1．平行线等分线段定理

定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

2．平行线等分线段定理的推论

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．
见http://www.pep.com.cn/200406/ca473315.htm

"平行线分线段成比例定理"有没有逆定理?有逆定理，但不一定成立。应为有可能是不平行的线平分线段。