怎么判断向量线性相关，向量组线性相关的判断方法例题 _判断

怎么判断向量线性相关
定义法：令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性。
（4）通过向量组构成的.齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
向量组线性相关的判断方法例题由线性相关与线性无关的定义可知：向量组a1,a2,...,ar的线性相关性归结为齐次线性方程组Ax=0的解的情形，其中A＝(a1,a2,...,ar) 。若方程组只有零解，向量组线性无关；若方程组有非零解，则向量组线性相关。而Ax=0只有零解归结为r(A)=r，Ax=0有非零解归结为r(A)＜r，所以向量组的秩小于向量个数(也就是r(A)＜r)时，向量组线性相关。
对于非齐次线性方程组，r(a)=r(A,b)＜n(n是未知量个数)，则方程组有无穷多解，按说这个在课本上是有介绍的，用高斯消元法。相当于把方程组中的多余方程去掉了，剩下的方程组中方程的个数小于未知量个数，所以未知量不会有唯一解。
判断线性相关的三种方法有哪些判断线性相关的三种方法如下：
第一种从定义出发寻找一组非零常数。
第二种求常数项的秩或者行列式。
第三种寻找向量的个数是多少，如果多数向量可以由少数向量线性表示那么多数向量一定是线性相关。
设A为a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4) 。判断哪些向量一定是线性相关的，并且a1,a2,a3,a4是任意常数。a2,a3,a4秩的确定跟a的取值有关系，首先一行以及2,3 ，一定是线性相关。a1,a2,a3,a4一定是线性无关的无论a取任何值，秩一定是3的。

文章插图
考察极大线性无关组的定义，定义里说存在r个向量使得线性无关但是再加进去任何一个向量就变成线性相关的了。这里确定的是加入任何一个向量一定是线性相关的，但是这r个向量却不一定是线性无关的。
线性无关的定义，对于所有的向量其前面的所有的常数都是0向量组才等于0向量那么这个向量组是线性无关的。换一句话就是只要存在一个常数不是0那么这个向量组一定不是线性相关或者说是方程一定不是齐次的。
已知一个矩阵以及增广矩阵去证明b向量可以由A向量组线性表示，那么首先确定的就是A的秩假设为r那么加进去以后秩还是一样可以得到一个十字r(a1,a2,a3...at)=r(a1,a2,a3...at,b)容易发现其实就是线性表示的等价。
从极大线性无关组出发假设A的极大线性无关组是a1...ar，那么增广矩阵的秩等于A的秩也就是说增广矩阵是线性相关的。根据定义一个向量组线性无关填进去任何一个向量就变成线性相关的那么这个新填进去的一定是可以被线性表示的，并且表示方法是唯一的。
如何判断向量组是否线性相关判断向量组线性相关的方法
1．线性相关
2．的对应分量成比例线性相关
3．含有零向量的向量组是线性相关的
4．向量组线性相关该组中至少有一个向量可由其余的向量线性表出
5．部分相关则整体相关
6．设向量组可由向量组线性表出
（1）如果r>s,则线性相关；
（2）如果线性无关，则
7．n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)
8．该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关
9．n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的
10．线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
判断向量组线性无关的方法
1．线性无关
2．的对应分量不成比例线性无关
3．向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出
4．整体无关则部分无关
5．线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6．该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关
7．n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的
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