如何理解非欧几何,非欧几何的诞生和发展过程( 三 ) _并不神秘的非欧几何它究竟讲

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黎曼以高斯“过直线外一点，没有直线与已知直线共面而不相交”为公理去代替欧几里得第五公设，从而创立了另一种非欧几何。
在这种几何中,欧几里得第五公设和直线可以任意延长就被否定了,在这种几何中,对于每一条直线,都存在一个这条直线能够延长的最大长度。过给定的两点,总可以作一条以上直线;三角形内角和大于180度,且超出的量与三角形面积成正比。

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非欧几何与欧几里得几何虽然结果不同，但它们都是无矛盾的几何学。非欧几何甚至还可以在欧几里得几何的某些曲面上表现出来。非欧几何的产生打破了几何空间的唯一性，反映了空间形式的多样性。
简单而言，黎曼提出的全新的几何思想保留了欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在，是另一种全新的非欧几何，
自此，非欧几何里的两大支柱罗氏几何和黎曼几何就此诞生，而欧几里得留下的第五公设难题也被完全解决。

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简单总结来说，欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 。罗氏几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行” 。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。

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庞加莱构建非欧几何模型让非欧几何得到认可当时欧氏几何的权威性让非欧几何被数学家接受遇到了很多的阻力，像凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义这点，就让许多数学家难以接受。
比如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，为了能够让非欧几何被数学界接受，众多数学家开始寻找非欧几何的现实模型（建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁）。
因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释也叫做非欧几何学的欧氏模型。

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欧氏几何
而黎曼几何的数学模型就相对好找一些，因为黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
但是罗氏几何就相对来说比较困难一些。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。