如何理解非欧几何,非欧几何的诞生和发展过程( 二 ) _并不神秘的非欧几何它究竟讲

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兰伯特
他在此基础上进行了大胆的猜想：如果过直线外一点如果没有直线与之平行或者不止一条直线与之平行的情况下，也许存在可能的几何学而不产生矛盾。
兰伯特和萨凯里都走到了非欧几何的门槛，尤其萨凯里提出的对于锐角的假设是成立的，他后来成为了罗巴切夫斯基几何（双曲几何）的基础之一但是因为时代的原因，最终没有迈过去。

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第五公设问题到了高斯手里，才算取得突破，高斯15岁的时候就饶有兴致地思索起了这个困扰了数学界近两千年的难题。他亲自做了实地测量，来讨论我们生存的空间是否存在有非欧几何性质的可能性，从而用新的几何思想解决第五公设难题。
到1813年，高斯已经形成了一套关于新几何的思想，他称之为“反欧几里得几何”后来又改称“非欧几里得几何” 。并且坚信这种新几何在逻辑上也是相容的，且有广阔的应用前景。但高斯是个较为保守和谨慎的数学家，也忧心那些顽固分子会对这一发现展开攻击，所以生前并未公开发表这一成果。

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他的行为也打击到了一位青年数学家波尔约，波尔约和他父亲一样（他父亲老波尔约和高斯是同学），醉心于第五公设研究，在研究之中他得出了非欧几何的基本原理。1823年，这位骄傲自豪的父亲将儿子长达26页的论文《关于一个与欧几里得第五公设无关的空间的绝对真实性的学说》满怀自信地交由自己的老同学高斯审阅。但高斯的回应对父子二人来说犹如晴天霹雳。
高斯表示，自己并不能称赞，因为称赞他就等同于称赞自己，因为这些成果与自己30年前思考的结果相同……然而年轻气盛的波尔约却坚信是高斯剽窃了他的成果，这件事沉重打击了波尔约对数学的热情，选择放弃了数学研究。

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玻尔约及其遗留手稿
高斯对于研究成果的秘不发表，而波尔约转而研究神学。第五公设问题到了罗巴切夫斯基手里才算得到初步解决。

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他用了与第五公设相反的断言：通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线，“作为假设，把它与欧氏几何的其他公设结合其他，然后约定这个断言为公理，若这个假设与其他公设不相容，则得到了第五公设的证明，并由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，这就是高斯遗稿中所命名的《非欧几何》。

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罗巴切夫斯基公理系统和欧几里得公里系统的不同仅仅在于第五公设，罗巴切夫斯基用“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线平行于已知直线”来代替，其他都与欧氏几何相同，也就是说凡是不涉及到第五公设的几何命题，欧氏几何是正确的，在罗氏几何中也是正确的。而凡是涉及到第五公设的，在罗氏几何中都有新的具体意义。

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黎曼几何的诞生标志着非欧几何的成熟1854 年，高斯的学生黎曼发表了发表《论作为几何学基础的假设》一文，宣告了黎曼几何的诞生。